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Zitatensammlung
Teil 2
Zitat von Marcus ANDRIES zu
MATHEMATIK und PHILOSOPHIE
Mathematik und Philosophie besitzen eine auffallende historische Gemeinsamkeit: Beide sind etwa gleichzeitig in der sogenannten Ionischen Periode, d. h. im 7./6. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland gewissermaßen »aus dem Nichts« bzw. »schlagartig« entstanden, insbesondere die Mathematik in ihrer bis heute gültigen, charakteristischen Allgemeinhet und Abstraktheit. Sie haben sich nicht sukzessive aus der vorangehenden babylonischen oder altägyptischen Kultur etwickelt oder sind in ihrer allgemeinen und abstrakten Form durch diese allmählich vorbereitet worden, sondern sind aus sich heraus aufgetreten. Hinsichtlich der Mathematik soll damit nicht geleugnet werden, dass die Griechen inhaltlich vieles ohne Zweifel von den Babyloniern und Ägyptern übernommen haben,² aber die Art der Behandlung dieser Inhalte, der methodische Umgang mit ihnen und der Anspruch an Allgemeinheit und Systematik ist eine neue Qualität, die erst durch die Griechen entwickelt worden ist. Die Entwicklung innerhalb des griechischen Denkens selbst war ein Übergang vom Mythos [μύϑος] zum Logos [λόγος].
2 Vgl. z.B. Oskar Becker: ›Das mathematische Denken der Antike‹, Göttingen 1957, S. 37.
Für die Entstehung der Mathematik als Wissenschaft [η επιστήμη] können zwei Phasen festgestellt werden: eine erste, in der nur einzelne Mathematische Sätze als allgemeine und theoretische Sätze formuliert und bewiesen werden - die sogenannte »thaletische« Phase³ -, sowie eine zweite Phase, in welcher nun ganze mathematische Theorien entwickelt werden, innerhalb derer man Sätze aus anderen Sätzen deduktiv herleitet.⁴ Das gemeinsame Auftreten von Philosophie und Mathematik und deren gegenseitige Befruchtung zeigt sich auch daran, dass einige der ersten großen Philosophen entweder zugleich bedeutende Mathematiker waren - wie Thales und Pythagoras - oder zumindest mit einer soliden mathematischen Bildung ausgestattet waren - wie Platon und Aristoteles.⁵ Platon soll beim Pythagoreer Theodoros von Kyrene Mathematik studiert haben.⁶ Aristoteles hat mit seiner ›Ersten Analytik‹ (›Analytika protera‹ [αναλύτικα προτέρα]) die formale Logik (Syllogistik) als Wissenschaft begründet.⁷ Die vier genannten Philosophen müssen gewissermaßen als Hauptprotagonisten an den Beginn der Mathematik als Wissenschaft gestellt werden, weniger aufgrund mathematischer Einzelleistungen, sondern wegen ihres grundlegenden Beitrages zur Entwicklung des wissenschaftlichen Denkens und der wissenschaftlichen Methoden in der Mathematik.⁸ Mathematik und Philosophie entsprangen offenbar zur gleichen Zeit dem gleichen inneren Bedürfnis bzw. geistigen Impuls dieser Denker.
3 Vgl. Hans-Joachim Waschkies: ›Eine neue Hypothese zur Entdeckung der inkommensurablen Größen durch die Griechen‹, in: ›Archive for History of Exact Sciences‹, Vol. 7, No. 5 (1971), S. 325.
4 Vgl. Jürgen Mittelstraß: ›Die Entdeckung der Möglichkeit von Wissenschaft‹, in ders: ›Die Möglichkeit von Wissenschaft‹, Frankfurt a. M. 1974, S. 31-41.
5 Eine Personalunion von Mathematiker und Philosoph findet sich auch in späterer Zeit - z.B. bei Nicolaus Cusanus, René Descartes und Gottfried Wilhelm Leibniz.
6 Vgl. Diogenes Laertios: ›Leben und Meinungen berühmter Philosophen‹, Buch II, 103 und Buch III, 6.
7 Aristoteles selbst verwendet den vom griechischen Wort »Logos« abgeleiteten Ausdruck »Logik« allerdings nicht. Dieser erscheint in der antiken Literatur nicht vor dem 1. Jh. v. Chr. Vgl. Ernst Kapp: ›Der Ursprung der Logik bei den Griechen‹, Göttingen 1965, S. 25.
8 Vgl. André Pichot: ›Die Geburt der Wissenschaft. Von den Babyloniern zu den frühen Griechen‹, Frankfurt a. M., New York & Paris 1995, S. 283.
Zwar liegt nach Herodot von Halikarnassos (5. Jahrhundert v. Chr.), dem »Vater der Geschichte«, sowie nach Aristoteles ebenso wie nach Iamblichos von Chalkis (3./4. Jahrhundert n. Chr.) und Proklos Diadochos (5. Jahrhundert n. Chr.) der Ursprung der Geometrie⁹ bei den altägyptischen Feldvermessern,¹° und mit Platon geht die griechische Antike davon aus, dass die Zahlen, das Rechnen sowie das Messen im alten Ägypten vom ibisköpfigen Gott Theuth (bzw. Thot) erfunden worden sind.¹¹ Beweise [απόδειξεις] allgemeiner Sätze (gr. theoremata [ϑεωρήματα]) aber, welche die Mathematik erst zu einer Wissenschaft mit allgemeingültigem Anspruch machen, gibt es nach der Einschätzung der Mehrheit der Mathematikhistoriker erst seit Thales.¹² Ganz offensichtlich vollzieht sich erst bei den Griechen der Übergang vom altorientalischen, von der Empfindungsseele dominierten praxisorientierten Umgang mit der Mathematik zum wissenschaftsorientierten Umgang durch die erwachende Verstandesseele.[a] So gab es den Begriff des Beweises in der altorientalischen Geometrie noch nicht,¹³ genauso wenig wie in diesem Kontext notwendigen Begriffe »Definition«, »Postulat«, »Axiom« und »Deduktion«.¹⁴ Im Unterschied zu den praktischen Sätzen der vorgriechischen Mathematik, welche die Form von Rechenvorschriften, gar »Rezepten« für konkrete Einzelfälle hatten, sind die Thaletischen Sätze echte theoretische Sätze.¹⁵ Das wesentlich Neue der hellenistischen [infolge der altgriechischen] Mathematik besteht darin, dass nicht nur nach dem »Wie« mathematischer Zusammenhänge gefragt wird, sondern auch nach dem inneren Grund, dem »Warum«, wobei sich dieses Warum im Aufsuchen allgemeiner Beweise ausdrückt.¹⁶ Nach Aristoteles ist gerade das ein entscheidendes Kriterium für Wissenschaft, dass zusätzlich zum Wissen des »Dass« (gr. hoti [ότι]) dasjenige des »Warum« (gr. dihoti [διότι, eigentl. „Darum”]) tritt.¹⁷ Die Griechen, durch die sich ausbildende Verstandesseele zu erheblicher Abstraktion befähigt, erkannten die Bedeutung der für die Wissenschaftlichkeit der mathematik notwendigen Voraussetzungen:¹⁸
1. Die Möglichkeit theoretischer, d.h. allgemeiner Sätze;
2. die Möglichkeit des allgemeinen Beweises für unendlich viele »Objekte«;
3. die Kenntnis des logischen Schließens bzw. das Vorhandensein einer Logik.
9 Das altgriechische »geometria« [γεομετρία] bedeutet wörtlich »Erdmessung« oder »Landvermessung«.
10 Vgl. Herodot: ›Historien‹, II. Buch, 109; Aristoteles: ›Metaphysik‹, I. Buch, 1. Kap., 981b23-25; Iamblichos: ›Pythagoras. Legende, Lehre, Lebensgestaltung‹, hrsg. von Michael von Albrecht, Zürich 1963, Kap. XXIX, Abs. 158, S. 161 und Proklus Diadochus: ›Kommentar zum Ersten Buch von Euklids »Elementen«‹, hrsg. von P. Leander Schönberger & Max Steck, Halle (Saale) 1945, S. 210f.
11 Vgl. Platon: ›Phaidros‹, 274c/d.
12 Vgl. z.B. Oskar Becker: ›Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung‹, Frankfurt a. M. 1975, S. 24.
13 Vgl. Paul Lorenzen: ›Methodisches Denken‹, Frankfurt a. M. 1974, S. 121.
14 Vgl. Árpád Szabó: ›Anfänge der griechischen Mathematik‹, München & Wien 1969, S.309f.
15 Vgl. Jürgen Mittelstraß: ›Die Entdeckung der Möglichkeit ...‹, S. 32f.
16 Vgl. z.B. a.a.O., S. 33 und Wolfgang Schadewaldt: ›Die Anfänge der Philosophie bei den Griechen. Die Vorsokratiker und ihre Voraussetzungen‹, Frankfurt a. M. 1978, S. 232.
17 Vgl. Aristoteles: ›Metaphysik‹, I. Buch, 1. Kap., 981a24-982a4; ders.: ›Zweite Analytik‹, I. Buch, 13. Kap., 78b34f. sowie Proklus Diadochus: ›Kommentar ...‹, S. 207.
18 Vgl. Jürgen Mittelstraß: ›Die Entdeckung der Möglichkeit ...‹, S. 36f und 40.
Die Vollendung des axiomatisch-deduktiven Aufbaus der Mathematik leistet Euklid um 300 v. Chr. mit seinen ›Elementen‹ (gr. stoicheia¹⁹ [στοιχεία]) und kann deshalb zu Recht als der ›Vater der axiomatischen Methode‹ bezeichnet werden. Ohne die theoretischen Vorarbeiten von Platon (Definieren, Reinheit der Begriffe) und Aristoteles (Methodologie, Axiomatik) wäre diese Vollendung allerdings nicht möglich gewesen. Der axiomatische Aufbau des Werkes von Euklid ist so konsequent und vorbildlich, dass es 2300 Jahre lang, bis ins 19. Jahrhundert, in manchen Ländern wie Großbritannien²° sogar bis ins 20. Jahrhundert hinein das maßgebliche mathematische Lehrwerk an Gymnasien geblieben ist²¹ und nach der Bibel das am meisten verbreitete Buch der Geschichte darstellt.²² Ein wesentlicher Grund für diese »Popularität« und Zeitlosigkeit der »Elemente« liegt darin, dass sich Euklids Beweisbegriff in nichts vom heutigen unterscheidet.²³ Wie wichtig Euklid das Beweisen als das entscheidende Kriterium für die Wissenschaftlichkeit der griechischen Mathematik erscheint, zeigt sich insbesondere daran, dass er jeden Beweis seiner ›Elemente‹ mit den Worten beendet: »Dies hätte man ausführen/beweisen sollen« (gr. hoper edei poiesai/deixai [όπερ έδει ποίησαι/δείξαι]).[b]
19 Das griechische »stoicheia« heißt wörtlich »Buchstaben«. Aristoteles erläutert den Begriff »stoicheion« in seiner ›Metaphysik‹ unter anderem auch im Hinblick auf mathematische Beweise (V. Buch, 3. Kap., 1014a35).
20 Peter Schreiber: ›Euklid‹, Leipzig 1987, S. 125.
21 Vgl. Bartel L. Van der Waerden: ›Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik‹ Basel & Stuttgart 1956, S. 321.
22 Man spricht von über 1700 Ausgaben. Vgl. Gerhard Kropp: ›Vorlesungen über Geschichte der Mathematik‹, Mannheim 1969, S. 29.
23 Vgl. Nicolas Bourbaki: ›Elemente der Mathematikgeschichte‹, Göttingen 1971, S. 10.
Nach Proklos Diadochos wird erstmals durch Pythagoras die Mathematik zu einer »freien Lehre« (gr. paidea [παιδεία]).²⁴ Pythagoras soll auch der erste gewesen sein, der sich selbst als Freund (gr. philos [φίλος]) der Weisheit (gr. sophia [σοφία]) bezeichnet hat²⁵ und damit der Philosophie ihren Namen gegeben haben soll.²⁶ Nach Proklos Diadochos geht auch der Name »Mathematik« auf die Pythagoreer zurück.²⁷ Im Verständnis von Aristoteles handelt es sich bei einer »freien Wissenschaft« um eine solche, die um ihrer selbst willen ausgeübt wird - nicht ein äußerer Nutzen ist das Ziel, sondern die Erkenntnis als solche.²⁸ Die Kraft der Verstandesseele, sich vom Sinnlichen emanzipieren zu können, findet ihren Ausdruck in einer autonomen und empiriefreien Wissenschaft, in einer reinen »theoria [ϑεωρία]«.²⁹ In diesem Sinne kann man zu Recht tatsächlich von der Geburtsstunde der reinen Mathematik sprechen. [...]
24 Proklus Diadochus: ›Kommentar ...‹, S. 211.
25 Vgl. Diogenes Laertios: ›Leben und Meinungen ...‹, Buch I, 12.
26 Ebd. Für die Auffassung, dass der eigentliche Begriff der Philosophie erst in der platonischen Akademie gebildet wurde vgl. z.B. Karl-Martin Dietz: ›Metamorphosen des Geistes II: Das Erwachen des europäischen Denkens‹, Stuttgart 1989, S. 69.
27 Vgl. Proklus Diadochus: ›Kommentar ...‹, S. 194. Dabei ist zu beachten, das der Terminus »mathematika« [μαϑηματικά] für die Mathematik im eigentlichen Sinne aristotelisch ist, während noch Platon »mathematikos« [μαϑηματικός] für alle Wissenschaften verwendet.
28 Aristoteles: ›Metaphysik‹, I. Buch, Kap. 2, 982b24-28.
29 Vgl. Oskar Becker: ›Das mathematische Denken ...‹, S. 12 und André Pichot ›Die Geburt ...‹, S. 354f.
in »die Drei« 5/2017; S.26ff
a] vgl. Mbl.5
b] vgl. q.e.d. (lat. quod erat demonstrandum ~ was zu beweisen war)